W 2000 roku ukończył ZPSM im. Karola Szymanowskiego w Warszawie w klasie fortepianu prof. Szymona Kowalczyka. Następnie odbył studia muzyczne w Akademii Muzycznej i Uniwersytecie Muzycznym Fryderyka Chopina w Warszawie, które prowadził w dwóch specjalnościach: dyrygentura chóralna (w latach 2000–2005, w klasie prof. Ryszarda Zimaka) i kompozycji w klasie prof. dr hab. Pawła Łukaszewskiego. Jest również absolwentem Międzyuczelnianej Specjalności Multimedialnej („Twórca multimedialny”) realizowanej w roku 2011 na UMFC i ASP. W roku 2012 ukończył Podyplomowe Studium Chórmistrzowskie w Akademii Muzycznej w Bydgoszczy. Jest członkiem Akademii Fonograficznej. Jest laureatem następujących nagród i wyróżnień: I nagroda na Konkursie Kompozytorskim „Musica Sacra” za utwór Prośby wygnańca na chór mieszany a cappella (2004); utwór ten został wykonany na Międzynarodowym Festiwalu Muzyki Sakralnej “Gaude Mater” w Częstochowie przez Chór Polskiego Radia w Krakowie i zarejestrowany przez Polskie Radio; Wyróżnienie na I Ogólnopolskim Konkursie im. Jana Pawła II, organizowanym przez Centrum Myśli JPII, za utwór Deus et animae na chór mieszany a cappella (2007); II nagroda na Konkursie Kompozytorskim na Motet Eucharystyczny, organizowanym przez Federację Caecilianum, za utwór O sacrum convivium na chór mieszany a cappella (2009); wyróżnienie na konkursie „The International Music Prize for Excellence in Composition”, organizowanym przez National Academy of Music (Colorado, USA) we współpracy z Municipal Conservatories of Neapolis and Sykies (Grecja), za utwór Three excerpts na flet solo (2009); III nagroda na Międzynarodowym Konkursie Kompozytorskim „Musica Sacra” za utwór Pater noster (2013); utwór został wykonany na Międzynarodowym Festiwalu Muzyki Sakralnej “Gaude Mater” w Częstochowie przez Polski Chór Kameralny Schola Cantorum Gedanensis i zarejestrowany przez Polskie Radio.

Kompozycje Łukasza Farcinkiewicza zostały opublikowane na pięciu płytach CD (w wydawnictwach Acte Préalable i Musica Sacra Edition), z których płyta „Laudate Dominum” otrzymała nagrodę Fryderyk 2011. Łukasz Farcinkiewicz wykonywał na niej partię organów, akompaniując Chórowi Katedry Warszawsko-Praskiej MUSICA SACRA, z którym jest związany od 2005 roku w charakterze pianisty-korepetytora, organisty, a także wokalisty.